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已有 894 次阅读 2019-3-14 12:15 |个人分类:数学|系统分类:人文社科

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  莫海亮老师的这本《圆之吻——有趣的尺规作图》,真是一本有趣的书。

  大家知道,尺规作图向来是平面几何里比较容易让人产生兴趣的内容,而这本书汇集了各种尺规作图的内容,由浅入深地给出作图方法,真不错。那么,到底这本书有多有趣呢?

  首先,单从目录上看就足以给我们带来惊喜了。这本书不但有普通的尺规作图问题,还包括了许多“高级”问题,比如著名的“阿波罗尼奥斯问题”——给出三个几何元素(可能是点、直线、圆),求作过已知点且与直线、圆相切的圆,按照所给元素可以分为十个子问题。这是古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的问题,难度较大,主要是一来需要考虑点、线、面的各种位置关系,比如其中的“第十问题(圆圆圆)”包括四十九种拓扑结构,进一步可以划分为一百零一个小问题;二来有些作图颇不容易。作者对每个子问题都详细地进行了进一步的划分,然后每个子问题给出了代表性的解答。作者还对难度更大的马尔法蒂问题的进行了探索。具体这是什么问题呢?看了书你就会知道。

  作为一本讲解尺规作图的科普书,书里还讨论了进一步限制作图工具下的许多作图方法。比如只用单规甚至锈规,或者是短尺等工具。另外还有一般的书里没有讲到的作图工具的扩展。比如我们一般使用的尺子是所谓的“单边尺”,也就是只能用尺子的一条边,而实际的尺子都是有刻度的长矩形。书里介绍了诸如双边尺、直角尺、刻度尺等工具。另外本书还讨论了火柴棒、折纸、包络线等作图,精彩多多。

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  其次,书里对许多作图内容都给出了多种作法。就拿简单的“角平分线”作图来说,书里给出了七种方法,这可能会让很多人感到意外。等分线段有十一种作法,而普通人可能只知道其中的一两种。正十七边形作法给出了四种,正五边形作法居然达到了惊人的二十四种。

  前面所说的只是常规的尺规作图解法。而更值得指出的是,对于单规、单尺、锈规作图,作者不是只简单地讨论了一些简单情形,而是极为深入。比如单规作图部分列出了十二种等分线段的方法,三种正五边形作法,两种单尺作正五边形作法,四种锈规正三角形作法。另外书里还给出了单规及单尺(带一个已知圆心的圆)作正十七边形的方法,是非常值得一阅的难得资料。有了这本书,许多问题就不用在网上费尽心机的搜索和查找了。

  第三,本书的内容和排版都经过了精心设计。众所周知,尺规作图历史悠久,从《几何原本》算起有两千多年了。本书对相关的历史进行了一定的考订,特别是关于前面提到过的“阿波罗尼奥斯问题”等内容,相信能引起读者的兴趣。另一方面,有的作图问题比较复杂,为了能让读者看清图示,本书采取了彩色印刷,各种图线的区别一目了然,不会让人感觉“分不清”,充分体现了作者的匠心。

  作为一本科普书,本书对内容的选择充分注重了趣味性。因此没有包括所有的尺规作图问题。其中没有包括而又比较重要的是用几何方法解二次方程,这个问题的几何表示是这样的:求作一条线段,使这条线段为边长的正方形加上(或减去)一个以这条线段和另一已知线段为邻边的长方形的面积等于一个已知直线形的面积,即求x,使x2±bx=c。这个作图问题至少由两种解法,一种是《几何原本》里给的,另一种是英国著名数学家哈代给的。另外本书主要是讲平面作图的,不涉及空间作图。特别是空间作图有一些地方是本质上不同于平面作图的,比如平面作图中的点和线都是真实可作的,而空间作图中的平面、球面只要是能确定下来就算是作出来了。空间作图也有很多值得必发366娱乐平台登录唯一网址的问题,正多面体就是很典型的例子。

  现在市面上有一些书完全是人云亦云,没有什么新意,而本书虽然篇幅不大,包括后记在内只有221页,内容却很丰富,其中很多作法是作者的独创。为了找好平衡,也为了避免引起读者的“不快”,除个别问题外,作者都没有给出相应的证明。但作为读者,仅仅停留在“照猫画虎”的阶段显然不行。希望有心的读者不但给出书中作法的证明,还能在该书的启发下再上层楼,创造出新的作法,提出并解决新的问题。但这里说的解决新问题,不应当包括类似古希腊“三大作图问题”这样已经被证明是无法尺规作出的问题。

  这本有趣的书,值得阅读。



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3 蒋迅 李毅伟 史晓雷

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